Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình mặt phẳng Oxyz: công thức, vectơ pháp tuyến, dạng phương trình, giao tuyến, khoảng cách, ôn luyện hiệu quả.

—————————————————————

Mình không thể mở trực tiếp file PDF từ liên kết. Tuy nhiên, dựa trên chuyên đề “Phương trình mặt phẳng” trong Hình học giải tích Oxyz thường gặp trong tài liệu luyện thi THPT, dưới đây là bản tóm lược và định hướng bám sát nội dung bạn yêu cầu. Nếu bạn tải lên file PDF hoặc dán nội dung/ảnh các trang, mình sẽ hiệu chỉnh lại cho khớp 1-1 với tài liệu.

Phần 1: Tổng quan về nội dung toán được đề cập

• Chủ đề trọng tâm: Phương trình mặt phẳng trong Oxyz, các dạng phương trình, điều kiện xác định mặt phẳng và các quan hệ song song, vuông góc; bài toán khoảng cách, góc, giao tuyến, hình chiếu, đối xứng; các bài toán tham số hóa và tối ưu đơn giản.
• Dạng phương trình:
  • Dạng tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 (véc-tơ pháp tuyến n = (A, B, C), không đồng thời A = B = C = 0).
  • Dạng đi qua điểm M(x0, y0, z0) và có pháp tuyến n(a, b, c): a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0.
  • Dạng qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C: n = AB × AC rồi thế vào dạng điểm–pháp tuyến.
• Quan hệ hình học:
  • Song song: hai mặt phẳng (P), (Q) song song khi nP ∥ nQ (tức tỉ lệ).
  • Vuông góc: nP ⟂ nQ (tích vô hướng nP·nQ = 0).
  • Góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q): cosθ = |nP·nQ| / (||nP||·||nQ||).
  • Góc giữa đường thẳng d (véc-tơ chỉ phương u) và mặt phẳng (P): sinφ = |u·nP| / (||u||·||nP||).
• Khoảng cách:
  • Từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (P): d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²).
  • Giữa hai mặt phẳng song song: d = |D2 − D1| / √(A² + B² + C²) khi có cùng pháp tuyến (hệ số (A,B,C) tỉ lệ).
• Giao tuyến và bài toán đi kèm:
  • Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng: giải hệ hai phương trình mặt phẳng hoặc viết ở dạng tham số.
  • Giao điểm đường thẳng–mặt phẳng: tham số hóa đường thẳng rồi thế vào phương trình mặt phẳng.
  • Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng: P’ = P − [(AP)·n / ||n||²] n, tương đương P’ = P − (Ax0 + By0 + Cz0 + D)/(A² + B² + C²) · (A, B, C).
• Bài toán tham số: Tìm m để mặt phẳng thỏa quan hệ (song song, vuông góc, cắt theo điều kiện), để khoảng cách/góc đạt giá trị cho trước, hoặc để hệ có nghiệm duy nhất/vô số nghiệm.

Phần 2: Những kiến thức liên quan trong đề thi

• Kiến thức nền:
  • Véc-tơ pháp tuyến, tích vô hướng, tích có hướng, chuẩn véc-tơ.
  • Phương trình đường thẳng trong Oxyz (dạng tham số, chính tắc), điều kiện song song/vuông góc đường thẳng–mặt phẳng, đường thẳng–đường thẳng.
  • Kỹ năng thiết lập phương trình qua dữ kiện: qua điểm và pháp tuyến; qua 3 điểm; qua đường thẳng và điểm; qua hai đường thẳng cắt/chéo xác định; qua hai mặt phẳng cắt nhau.
• Dạng bài trắc nghiệm thường gặp:
  • Nhận dạng pháp tuyến, xác định mặt phẳng qua dữ kiện tối thiểu.
  • Tính khoảng cách điểm–mặt phẳng; khoảng cách giữa mặt phẳng song song.
  • Điều kiện m để (P) ∥ (Q), (P) ⟂ (Q), d ∥ (P), d ⟂ (P).
  • Tính góc giữa hai mặt phẳng; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
  • Tìm giao tuyến, giao điểm; tìm hình chiếu, điểm đối xứng qua mặt phẳng.
  • Bài toán tối ưu cơ bản (tối thiểu hóa khoảng cách bằng trực giao).
• Lỗi/bẫy thường gặp:
  • Quên chuẩn hóa hệ số khi tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (cần cùng pháp tuyến tỉ lệ).
  • Nhầm lẫn góc đường thẳng–mặt phẳng (dùng sin thay vì cos, và góc là bù với góc u–n).
  • Lấy tích vô hướng bằng 0 để xét song song (đúng phải là tỉ lệ véc-tơ pháp tuyến).
  • Sử dụng tích có hướng sai thứ tự khi dựng pháp tuyến từ AB × AC (đảo thứ tự chỉ đổi dấu, nhưng phương trình tổng quát vẫn tương đương; tuy vậy cần nhất quán để tránh nhầm dấu D).
  • Đặt tham số gây mất nghiệm (chia cho biểu thức chứa tham số có thể bằng 0).

Phần 3: Nhận định ngắn (vai trò: thầy Ngô Hùng, IQ 180)

• Đây là chuyên đề có “tỉ suất điểm trên thời gian” rất cao nếu nắm chắc công thức lõi và nhận dạng tình huống nhanh. 80% câu có thể giải bằng một đến hai thao tác: xác định pháp tuyến, áp dụng công thức khoảng cách/góc, hoặc thế tham số rồi giải tuyến tính.
• Độ khó leo thang chủ yếu nằm ở bài tham số m và tổ hợp nhiều quan hệ hình học (vừa song song, vừa qua điểm, vừa thỏa khoảng cách/góc). Chìa khóa là chuẩn hóa về pháp tuyến và tách bài toán thành khối: dựng pháp tuyến → lập phương trình → kiểm tra điều kiện.
• Trong thi trắc nghiệm, kỹ thuật kiểm tra nhanh hệ số tỉ lệ và dùng véc-tơ chỉ phương/giao tuyến giúp loại đáp án. Đối với bài tối ưu, hãy “chiếu vuông góc” để rút về khoảng cách trực giao thay vì tính toán dài dòng.
• Lời khuyên ôn tập: học thuộc 6 công thức cốt lõi (phương trình điểm–pháp tuyến; pháp tuyến từ 3 điểm; d(P, Π); d(Π1, Π2) song song; cosθ giữa hai mặt phẳng; sinφ giữa đường thẳng–mặt phẳng) và 4 mẫu dựng nhanh (qua đường thẳng và điểm; qua 2 đường thẳng cắt/chéo; qua giao hai mặt phẳng; hình chiếu/đối xứng).
• Khi kiểm tra đáp án: thử điều kiện song song/vuông góc bằng tích vô hướng/tỉ lệ; thử điểm thuộc mặt phẳng bằng thay số; với khoảng cách/góc, kiểm tra đơn vị chuẩn bằng căn A²+B²+C².

Phần 4: 3 FAQs
Q1: Làm sao nhận biết nhanh pháp tuyến của mặt phẳng?
A1: Nếu mặt phẳng ở dạng Ax + By + Cz + D = 0 thì pháp tuyến là n = (A, B, C). Nếu biết 3 điểm A, B, C, lấy n = AB × AC. Nếu biết đường thẳng d có véc-tơ chỉ phương u và điểm M thuộc mặt phẳng, kết hợp với một véc-tơ nằm trong mặt phẳng khác v để lấy n = u × v.

Q2: Công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là gì và hay nhầm ở đâu?
A2: Với đường thẳng có véc-tơ chỉ phương u và mặt phẳng có pháp tuyến n, ta có sinφ = |u·n| / (||u||·||n||), trong đó φ là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Lỗi thường gặp là dùng cos thay vì sin, hoặc lấy góc giữa u và n rồi không đổi sang góc bù.

Q3: Khi nào dùng được công thức khoảng cách giữa hai mặt phẳng?
A3: Chỉ khi hai mặt phẳng song song (hoặc trùng). Viết chúng cùng pháp tuyến tỉ lệ: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và k(A1x + B1y + C1z) + D2 = 0. Khi đó d = |D2 − kD1| / √(A1² + B1² + C1²). Nếu không song song, phải tính qua điểm–mặt phẳng sau khi tìm một điểm trên mặt phẳng kia.

Mã nhúng: nút Download màu xanh và nhúng PDF responsive (desktop + mobile)
Bạn có thể sao chép đoạn mã dưới đây vào bài viết/website:

Bạn cần mình điều chỉnh nội dung đúng theo từng mục, từng bài trong PDF? Hãy tải lên file hoặc ảnh chụp các trang, mình sẽ cập nhật chi tiết theo tài liệu của bạn.